Formulación de modelos en Programación Lineal

OBJETIVO DE LA ACTIVIDAD

Enseñar al estudiante la metodología para construir un modelo de programación lineal que dé solución a los problemas que debe resolver en su ejercicio profesional.

MODELACIÓN Y FORMULACIÓN

La modelación

Es el proceso completo de abstracción del sistema real al modelo cuantitativo y tiene como resultado un modelo matemático del sistema real bajo estudio. Incluye actividades como la definición del sistema y la determinación de sus fronteras, la identificación de las actividades más importantes para el logro del objetivo, es decir la conceptualización del sistema simplificado y finalmente la elaboración del modelo.

Es quizás la parte más importante de la Investigación de Operaciones y se le considera como una mezcla de arte y de ciencia. La modelación no puede enseñarse, sino motivarse, se aprende con la práctica y con la experimentación.

Puede dividirse en dos fases: Subjetiva y la objetiva. La parte subjetiva consiste en la definición del sistema supuesto o simplificado. Mientras que la objetiva es la construcción del modelo a partir del sistema simplificado.

La formulación

Es la componente objetiva de la modelación y consiste en convertir el sistema simplificado en un modelo cuantitativo que lo describa. En esta sección ahondaremos un poco en la actividad de formulación, para lo cual supondremos que ya se realizó la etapa previa que nos permitió definir el sistema simplificado.

Debe tenerse en cuenta que en la vida profesional el estudiante se verá  afrontado a la necesidad de derivar sus propios sistemas supuestos, a partir de los problemas reales que se le presenten. El éxito obtenido dependerá de factores tales como su capacitación general, su habilidad y experiencia en la modelación y la comprensión que tenga del área particular del problema a modelar.

Una buena metodología para construir modelos matemáticos de los problemas, a partir del problema simplificado (problema supuesto), parece ser la siguiente:

  1. Leer atentamente el enunciado de la situación con el fin de comprender sus principales características. Como resultado de la lectura estaremos en capacidad de realizar los dos pasos siguientes.
  2. Organizar en cuadros o tablas toda la información cuantitativa que suministra el enunciado del problema. De esta manera será más fácil identificar, interpretar y utilizar la información.  Debe prestarse especial atención a las unidades de todos los datos utilizados.
  3. Dibujar un esquema de la situación. Este nos permitirá visualizar y comprender mejor las características del problema. En especial el diagrama es útil para llevar a cabo los tres pasos siguientes.
  4. Identificar los elementos del problema. Los elementos son las entradas (recursos), las salidas (productos) y las actividades (variables de decisión) del proceso al cual se reduce el problema. La gráfica o esquema del paso tres, es de gran ayuda en esta tarea. Las actividades son las que convierten una o más entradas en una o más salidas. La esencia del problema de P.L. es la determinación del sub conjunto de actividades que deben llevarse a cabo para optimizar el logro del objetivo.
  5. Expresar el objetivo relacionado con el problema, indicando las unidades en las cuales se medirá. Recordemos que en los problemas de programación lineal el objetivo será maximizar o minimizar alguna medida de eficiencia, que puede ser un costo, un tiempo, una probabilidad, un número de personas o de elementos, etc. En todos los casos se deben dar explícitamente las unidades de medición.
  6. Definir las variables de decisión. A cada una de las actividades que pueden realizarse se le asocia una variable que indicará el nivel o medida de su ejecución. Por ejemplo, si una actividad es fabricar el producto P3, entonces al asociarle la variable de decisión X3, definiremos ésta como el número de productos P3 que se deben fabricar. En algunos problemas las variables de decisión se pueden tomar en más de una forma posible. Una buena guía para determinar la más conveniente es buscar que las variables correspondan a aquellas actividades que permiten medir el grado de logro de la función objetivo.
  7. Formular la función del objetivo y las funciones de las restricciones del modelo matemático. Teniendo una correcta comprensión del objetivo y definidas las variables que cuantifican las actividades que conforman el proceso, podemos escribir una función matemática que mida el logro del objetivo. Es la expresión que nos permitirá conocer la eficiencia de la decisión que se tome.
  8. Formular las funciones de las restricciones. De la misma manera deben escribirse funciones para expresar las diferentes limitantes que se presentan en el proceso, ya sea en lo referente a valores permitidos para las variables, disponibilidad de recursos, producción total máxima o mínima y muchas otras.

ESQUEMA GENERAL DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Variables de decisión:

X1, X2, … , Xn

Función objetivo:

Max ó Min f(x) = C1X1 + C2X2 + … + CnXn

Sujeta a una serie de Restricciones:

a11X1 + a12X2 + … + a1nXn ≤ = ≥ b1

a21X1 + a22X2 + … + a2nXn ≤ = ≥ b2

am1X1 + am2X2 + … + amnXn ≤ = ≥ bm

En donde la variables  X1, X2, … , Xn ≥ 0

EJEMPLO DE FORMULACIÓN

Un taller tiene tres tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:

- Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto.

- Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana.

- La ganancia por unidad vendida de cada producto.

Tipo de Máquina Producto 1 Producto 2 Horas disponibles por semana
A 2 2 16
B 1 2 12
C 4 2 28
Ganancia por unidad 1 1.5

Qué cantidad de cada producto 1 y 2 se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia?

Formulación del modelo:

Definición de las variables de decisión:

X1: Número de unidades a fabricar por semana del producto 1

X2: Número de unidades a fabricar por semana del producto 2

Función objetivo:

Max Z = X1 + 1.5X2

Sujeta a: (Restricciones)

2X1 + 2X2 ≤ 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la Máq. A

X1 + 2X2 ≤ 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la Máq. B

4X1 + 2X2 ≤ 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la Máq. C

Restricciones de No negatividad para asegurar valores positivos de las variables.

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

ACTIVIDAD PROPUESTA

A partir del material suministrado, formular el problema de programación lineal que represente la siguiente situación:

1.  Formular el modelo matemático del siguiente problema:

Una refinería obtiene tres tipos de combustible: Extra, Corriente y Diesel, mezclando adecuadamente tipos diferentes de gasolina cruda: G1, G2, G3 y G4, que produce. Vende al exterior los tipos de combustible así como la gasolina cruda que no utiliza para la producción de los combustibles.

Los datos disponibles son los siguientes:

Gasolina Cruda

Calidad

(octanos/galón)

Producción

(galones/día)

Costo

(US$/galón)

G1

68

4000

1.02

G2

86

5050

1.15

G3

91

7100

1.35

G4

99

4300

2.75

.

Combustible

Calidad mínima (octanos/galón)

Precio de venta (US$/galón)

Demanda (galones)

 

Extra

95

5.15

10000/día a lo sumo

Corriente

90

3.95

Sin límite

Diesel

85

2.99

15000/día al menos

La gasolina cruda la puede vender a US$2.95 el galón si el octanaje es mayor o igual que 90 y a US$1.85 si es menor de 90. Plantear un problema de programación lineal para determinar la cantidad de gasolina que maximice el beneficio total por ventas.

2. Plantear el modelo matemático y resolver utilizando el método gráfico hallando el área factible y la solución óptima del siguiente problema:

Un hipermercado quiere promocionar una marca desconocida E de aceites utilizando una marca conocida D. Para ello hace la siguiente oferta: “Pague sólo a 2,50 dólares el litro de aceite D y a 1,25 dólares el litro de aceite E siempre y cuando: Compre en total 6 litros o más, la cantidad comprada de aceite D esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite E”.

La oferta exige que la cantidad comprada de aceite E debe ser como máximo la cantidad de aceite D más 10 litros. Además, se deben vender a lo sumo 60 litros de aceite E. La oferta de los aceites se sostiene hasta agotar existencias, pero se desean obtener unas ventas de 312,5 dólares. ¿Cuántos litros de cada tipo de aceite se deben vender para que el ingreso sea máximo?

Ejercicio Opcional:

Una familia dispone de una explotación agrícola de 100 hectáreas de terreno cultivable y dispone de cuatro millones de pesetas para invertir. Los miembros de la familia pueden producir un total de 3.500 horas hombre de mano de obra durante los meses de invierno (de mediados de septiembre a mediados de mayo) y de 4.000 horas-hombre durante el resto del tiempo, el verano. Si no fuesen necesarias en la explotación familiar, una parte de esas horas hombre se emplearán para trabajar en un campo vecino, a razón de 500 pesetas la hora en invierno y de 600 en verano.

En la explotación se pueden obtener ingresos produciendo tres tipos de cosecha: soja, maíz y avena; y cuidando las vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión (se autoabastecen), pero cada vaca exige un desembolso de 120.000 pesetas, y cada gallina les cuesta 800 pesetas.

Para el pasto de las vacas se necesitan 1.5 hectáreas por cada vaca, 70 horas hombre durante el invierno y 50 horas hombre durante el verano. Cada vaca produce un beneficio de 100.000 pesetas. Las gallinas se pueden pasear por cualquier lugar, no necesitando de un terreno propio, pero hay que dedicar 0,6 horas hombre en invierno y 0,3 horas hombre en verano para cada gallina, de cada una de ellas se obtiene un beneficio de 700 pesetas. Por la noche hay que recoger las gallinas y las vacas, para ello se dispone de un gallinero de 300 plazas y de un establo para 32 vacas, si hubiera más morirán asfixiadas.

La cosecha de soja requiere 20 horas hombre de trabajo por hectárea, en invierno y 50 en verano; la de maíz requiere 35 horas hombre de trabajo por hectárea, en invierno y 75 en verano y la de avena requiere 10 horas hombre de trabajo por hectárea en invierno y 40 en verano. El rendimiento neto que se obtiene por cada hectárea de la cosecha de soja es de 51.000 pesetas, por cada hectárea de la cosecha de maíz es de 79.000 pesetas y por cada hectárea de la cosecha de avena es de 32.000 pesetas.

¿Cuál será el ingreso máximo de la familia obtenido a partir de las actividades de explotación agrícola?

EVALUACIÓN DE LA ACTIVIDAD

La calificación para esta actividad estará determinada por la siguiente rúbrica de evaluación:

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